Божидар Аврамов е роден на 8 март 1990 във Варна. Той е висок 196 сантиметра и е юноша на Черно море. На 16 години гардът дебютира в мъжкия отбор на варненци, а година по-късно талантът му е забелязан в чужбина и на 17 години подписва с испанския Памеса Валенсия. По-късно кариерата на Аврамов продължава в гръцкия Олимпия Лариса.

 

През 2010 година Аврамов подписва с Лукойл Академик, с който става три пъти поред шампион (2011,2012, 2013) и три пъти носител на Купата на България в същия период. Точно тогава гардът работи съвместно със сегашния наставник на Балкан Йовица Арсич.

 

След кратък престой в Черно море Аврамов облича екипа на италианския Юве Казерта и румънския Асесофт Плоещ. След тежка контузия и три операции на коляното, които го изваждат от игра близо две години, Аврамов се завръща на паркета през 2015 година. Той облича отново екипа на Лукойл Академик, с който печели още три титли (2015, 2016 и 2017г.). 

 

През януари 2018 г. отборът му се слива с Левски, с който отново става шампион. 29-годишният национал е обявен и за най-полезен играч на плейофите през същия сезон. Той е и два пъти носител и на Суперкупата на България - с Лукойл Академик (2016) и Левски Лукойл (2018).

 

Първата половина от сезон 2019/20 Аврамов бе част от румънския Питещ, а след това се завърна в родния Черно море Тича.  

 

В момента Божидар Аврамов е част от националния отбор на България, който се подготвя за квалификациите за Евробаскет 2021.